Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А)

Покажем процесс нахождения коэффициентов матрицы S в случае матрицы А размерами 4х4, а потом уже выпишем общие формулы.

Обозначим элементы матрицы S:

Тогда должно быть выполнено соотношение A=S^tS, или

По правилам умножения матриц получаем систему:

s₁₁*s₁₁ = a₁₁

s₁₁*s₁₂ = a₁₂

s₁₁*s₁₃ = a₁₃

s₁₁*s₁₄ = a₁₄

s₁₂*s₁₂ + s₂₂*s₂₂ = a₂₂

s₁₂*s₁₃ + s₂₂*s₂₃ = a₂₃

s₁₂*s₁₄ + s₂₂*s₂₄ = a₂₄

s₁₃*s₁₃ + s₂₃*s₂₃ + s₃₃*s₃₃ = a₃₃

s₁₃*s₁₄ + s₂₃*s₂₄ + s₃₃*s₃₄ = a₃₄

s₁₄*s₁₄ + s₂₄*s₂₄ + s₃₄*s₃₄ + s₄₄*s₄₄ = a₄₄

из 10 уравнений. На первый взгляд, мы сильно усложнили задачу – вместо линейной системы из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными мы должны решать систему из 10 нелинейных уравнений с 10 неизвестными. Однако, и в случае 4х4, и в случае N неизвестных наша система решается очень просто: мы по очереди находим все элементы матрицы S. Из 1-го уравнения найдем s₁₁, потом из 2-го уравнения- s₁₂ и т.д. Таким образом мы построчно определим все элементы искомой матрицы.